Родился 26 апреля 1956 года в Иркутске, в семье военнослужащего и учительницы. Отец Александра в качестве военного советника служил в начале 1970-х годов в Сирии.
Толчком в становлении его как актёра стал школьный КВН, где он, будучи учеником десятого класса, сыграл роль средней головы Змея Горыныча. Затем читал «Баню» Михаила Зощенко на школьном вечере.
После окончания средней школы в 1973 году некоторое время работал слесарем-сборщиком мотоциклов на конвейере Завода имени В. А. Дегтярёва в городе Коврове. 9 месяцев работал монтировщиком сцены во МХАТе.
Первый учитель мастерства — Михаил Юрьевич Романенко-Кушковский — театральный художник, актёр и педагог, у которого Клюквин занимался до поступления в институт и после этого ещё много лет приходил к нему.
В 1978 году окончил Высшее театральное училище (институт) имени М. С. Щепкина (курс Михаила Царёва) при Государственном академическом Малом театре России в Москве и был принят в труппу этого театра, в котором служит по настоящее время.
На дублирование попал случайно. Когда в Останкино снимался спектакль Малого театра с его участием, во время перерыва к нему подошёл коллега по сцене Дмитрий Назаров и предложил принять участие в дубляже мультсериалов «Пчела Майя» и «Утиные истории», где он озвучил небольшие роли. Позже его стали приглашать на другие роли в дубляже и озвучивании.
Голосом актёра, в частности, говорят Бернар Фарси, Роберт де Ниро и Аль Пачино, лейтенант Коломбо из одноимённого сериала (перевод «ОРТ»), герои мексиканских и бразильских сериалов, умывальник в рекламе стирального порошка «Миф». Любимой ролью Клюквина является Альф. Озвучивает анонсы на канале «Совершенно секретно», предвыборные ролики СЛОН 2003 года, СПС 2007 года и ЛДПР 2016 и 2018 годов. Записывает аудиокниги.
Актёр дубляжа Дмитрий Филимонов про Клюквина сказал следующее: «… Однажды мы работали с Сашей Клюквиным, так он умудрялся во время записи в одной руке держать чашку с чаем, другой разгадывать кроссворд, читать текст с первого дубля, да ещё и исправлять смысловые ошибки, которые допустил переводчик. Как он это делал, я не представляю.»
